Российский футболист Антон Зиньковский родился 14 апреля 1996 года в Новороссийске. Футболом начал заниматься в детстве: тренировался в академии местного клуба «Черноморец», затем – в московском спортивном интернате «Чертаново». В 17 лет стал игроком молодежного состава «Кубани».
Взрослую карьеру Зиньковский начал в 2014 году в команде «Чертаново». Позднее играл за «Зенит-2» и самарские «Крылья Советов». В июне 2022 года подписал пятилетний контракт с московским «Спартаком». Сумма трансфера составила около 3,2 млн евро. В столичной команде он играет на позиции атакующего полузащитника.
В 2022 году Зиньковский был впервые вызван в основной состав национальной команды России – на ноябрьские учебно-тренировочные сборы.
Зиньковский за свою карьеру (по состоянию на начало 2023 года) становился финалистом Суперкубка России в составе «Спартака» (2022), был победителем первенства ФНЛ и финалистом Кубка России (2020/21) в составе «Крыльев Советов». В чемпионате России 2021/22 он был признан лучшим ассистентом и включен РФС в список 33 лучших игроков сезона.