Российский фигурист Федор Климов родился 7 сентября 1990 года в Ленинграде. С детства занимался фигурным катанием, начинал выступать как одиночник. В 16 лет перешел в парное катание, его партнершами были Александра Малахова и Мария Чащина. В 2009 году тренер поставила его в пару с Ксенией Столбовой.
Первый серьезный успех Климова и Столбовой на взрослых соревнованиях – «бронза» чемпионата Европы 2012 года. За карьеру они также трижды становились серебряными призерами европейского первенства (2014, 2015, 2018), в 2014-м заняли второе место на чемпионате мира.
На Олимпийских играх 2014 года в Сочи Климов и Столбова получили золотую медаль в командных соревнованиях фигуристов и стали вторыми в парном катании.
В 2018 году пара не смогла поехать на Олимпиаду в южнокорейском Пхенчхане, на которой российские спортсмены выступали под нейтральным флагом из-за допингового скандала. Международный олимпийский комитет отказал Столбовой в допуске на Игры, соответственно, участвовать в соревнованиях не смог и Климов. Пара также пропустила чемпионат мира, но уже из-за травмы. В том же году Климов сообщил, что они со Столбовой приняли решение перестать выступать вместе, а вскоре после этого объявил о завершении своей спортивной карьеры.
В 2022 году Федор Климов женился на фигуристке, двукратной чемпионке Европы и двукратной серебряной призерке Олимпийских игр Евгении Тарасовой.