Футболист Арсен Захарян родился 26 мая 2003 года в Самаре в армянской семье, которая переехала в Россию после начала войны в Нагорном Карабахе. С шести лет он тренировался в академии футбольного клуба «Крылья Советов». Как талантливый игрок Арсен Захарян проявил себя на юношеском чемпионате России 2017 года, им заинтересовались столичные клубы, и в итоге он перешел в московское «Динамо».
Захарян дебютировал в молодежном «Динамо» в 2020 году – тогда игроку было 16 лет. По итогам сезона он попал в список лучших молодых футболистов по версии британской газеты The Guardian. В сезоне 2021/2022 он стал бронзовым призером чемпионата России в составе «Динамо» и финалистом Кубка России.
В апреле 2021-го «Динамо» перезаключило контракт с футболистом. Он рассчитан до 2024 года, а зарплата игрока составляет 420 тысяч евро в год. При этом сумма может быть увеличена в зависимости от успехов игрока на поле.
Летом 2022 года Захарян был близок к переходу в лондонский «Челси»: английский клуб был готов приобрести его за 15 млн евро, но стороны не успели договориться до закрытия летнего трансферного окна, и процесс был отложен до зимы. Кроме того, осенью 2022 года появились сообщения, что Захарян рассматривает возможность смены гражданства ради выступления за сборную Армении по футболу.