Актер Андрей Мягков родился 8 июля 1938 года в Ленинграде. После школы по настоянию отца – кандидата технических наук — окончил Ленинградский технологический институт, недолгое время работал в НИИ, параллельно играя в любительских театральных постановках. На одном из таких спектаклей актера-любителя заметил театральный педагог и посоветовал ему подумать о смене профессии. Мягков поступил в Школу-студию МХАТ и после ее окончания был принят в труппу московского театра «Современник».
Мягков впервые снялся в кино в 1965 году – в комедии «Похождения зубного врача». Известность и всенародную любовь ему принесло сотрудничество с режиссером Эльдаром Рязановым. В 1975 году, когда актеру было 37 лет, он снялся в «Иронии судьбы, или С легким паром», а в 39 лет сыграл главную роль в «Служебном романе». Позднее он снимался у Рязанова в «Гараже» и «Жестоком романсе». Всего в фильмографии Мягкова около 50 ролей в кино: «Братья Карамазовы», «Дни Турбиных», «Расследование», «Гонки по вертикали», «Кувырок через голову», «Сказ про Федота-стрельца».
В 1963 году Мягков женился на актрисе Анастасии Вознесенской, с которой прожил всю жизнь. Детей у пары не было. По некоторым свидетельствам, Мягков, уже будучи известным актером, нередко ставил режиссерам условие, что с ним должна сниматься его жена. Вместе супруги сыграли в более чем десятке фильмов.
Андрей Мягков умер 21 февраля 2021 года от острой сердечной недостаточности, похоронен на Троекуровском кладбище в Москве. Вознесенская пережила мужа меньше чем на год, она скончалась 14 января 2022-го.