Цивилизация
26 марта в Осло президент Норвежской академии наук объявил имя лауреата Премии Абеля за 2014 год — аналога Нобелевской премии по математике. Им стал выдающийся ученый, представляющий Россию и США, Яков Григорьевич Синай. Премия эта названа в честь математика Нильса Хенрика Абеля. Норвежская академия наук и литературы выбирает ее лауреата комитетом из пяти крупнейших международных математиков. С 2003 года триумфаторами этой премии становятся те ученые, работы которых обладают чрезвычайной глубиной и оказали существенное влияние на эту область науки. Яков Григорьевич Синай получил ее «за фундаментальный вклад в изучение динамических систем, эргодическую теорию и математическую физику».
Школа Колмогорова
— Так почему именно Яков Синай признан лауреатом самой престижной премии в области математики?
— Яков Григорьевич является одним из самых знаменитых учеников Андрея Николаевича Колмогорова. В свою очередь, Андрей Николаевич — ученик основателя московской математической школы Николая Николаевича Лузина. Колмогоров — один из самых замечательных не только математиков, но и ученых ХХ века. Он вырастил свою громадную школу, в которой кроме Синая прославились многие академики и профессора. Назову лишь одного из них — Владимира Игоревича Арнольда. Синай в свою очередь создал школу, о которой я потом скажу несколько слов.
Андрей Николаевич Колмогоров внес фундаментальный вклад в самые разные области математики. Особенно знамениты его труды по теории вероятностей и динамическим системам. На стыке этих двух областей с математической физикой и работает всю жизнь Яков Григорьевич.
Теория вероятностей и теория динамических систем
— Чем занимаются две эти науки?
— Теория вероятностей изучает случайные события.
Например, вы подбрасываете монетку, и случайно выпадают орел или решка. Один из главных результатов теории вероятностей — закон больших чисел, доказанный Колмогоровым.
Он состоит в том, что в среднем число выпаданий орла или решки при большом числе испытаний будет одинаковым. То, что я сказал, не является строгой математической формулировкой. Одно из главных достижений Колмогорова состояло в том, что этому наивному утверждению он придал точный математический смысл, а затем доказал то, что получилось.
Теория дифференциальных уравнений или динамических систем на первый взгляд занимается противоположными задачами. Она исследует так называемые детерминированные, вполне предсказуемые процессы. Ньютон был первым, кто понял, что дифференциальные уравнения описывают большинство процессов, происходящих в природе с течением времени. Например, полет планет, а также движение молекул. С помощью созданной им теории дифференциальных уравнений Ньютон описал вращение планет вокруг Солнца и, в частности, доказал открытые ранее на опыте законы Кеплера. Например, то, что все планеты движутся вокруг Солнца по плоским орбитам, имеющим форму эллипса.
В конце ХVIII века математики начали понимать, что дифференциальные уравнения обладают так называемым свойством единственности решений. Если мы знаем в какой-то момент времени состояние процесса (например, положение планеты и ее скорость), то мы можем предсказать в бесконечное время в будущем, а также реконструировать на бесконечное время в прошлом судьбу этой планеты, ее полет, траекторию.
Более того, Лаплас понял, что этот же принцип детерминизма относится не только к движению планет, но и к движению микроскопических объектов. Например, молекул.
— То есть это универсальное свойство?
— Да. Это универсальное свойство единственности. И в своем трактате о теории вероятностей Лаплас написал: «Ум, которому были бы известны для какого-либо данного момента все силы, одушевляющие природу, и относительное положение всех ее составных частей, если бы вдобавок он оказался достаточно обширным, чтобы подчинить эти данные анализу, обнял бы в одной формуле движение величайших тел Вселенной наравне с движениями легчайших атомов; не осталось бы ничего, что было бы для него недостоверно, и будущее, так же как и прошедшее, предстало бы пред его взором».
Это гораздо больше, чем математический результат. Это философия, которая осмысливает развитие всей Вселенной вокруг нас. Философия, несмотря на патетику Лапласа, довольно унылая. Она состоит в том, что мы живем в мире, в котором все предсказано. Если бы некий великий ум знал начальные скорости и положения всех молекул и всех остальных тел во Вселенной, он бы спокойно предсказал прошлое и восстановил будущее.
— Но он не знает.
— Но он не знает. А главное — последующее развитие науки эту философию опровергло. В этой области и работает Яков Григорьевич Синай.
В ХIХ столетии казалось, что нет более противоположных ветвей математики, чем дифференциальные уравнения и теория вероятностей. Но развитие математики в ХХ веке показало, что это — две тесно переплетенные области. И в понимание этих связей Синай внес решающий вклад. Впрочем, об этом чуть позже.
Прежде чем перейти к рассказу об этих связях, которые изучает так называемая эргодическая теория, я хочу сказать о некоторых юношеских работах Синая.
Ранние работы Синая
— Ричард Фейнман пишет, что многообразие законов природы не является удручающе необозримым. Происходит это от того, что разные законы описываются одними и теми же математическими формулами. То же самое можно сказать и о дифференциальных уравнениях. Разнообразие дифференциальных уравнений на первый взгляд кажется совершенно бесконечным. Но существует подход, который позволяет многие дифференциальные уравнения считать одинаковыми. Грубо говоря, такие уравнения получаются друг из друга заменой координат, и тем самым, несмотря на их внешние отличия, они имеют глубокое внутреннее сходство и почти тождество. Возникает вопрос: а как узнать, являются ли два дифференциальных уравнения одинаковыми или разными? Для того чтобы ответить на этот вопрос, математики изучают так называемые инварианты. Это свойства дифференциальных уравнений, которые не меняются, когда мы делаем замены координат. Если мы увидели два дифференциальных уравнения, не похожих на вид, и инвариант, который мы открыли, вычислен для них и принимает разные значения, то это значит, что никакие замены координат превратить одно уравнение в другое не могут.
Кроме дифференциальных уравнений есть еще отображения. Это что-то вроде функций. Функция сопоставляет одним числам другие, а отображение сопоставляет одним точкам другие. Ну, например, в школе изучают отображения плоскости — повороты, переносы, растяжения. А можно изучать гораздо более сложные отображения плоскости, например взять прямую комплексных чисел: z = x+iy и рассматривать отображения p(z) = z2 или p(z)= z2 +C. Динамические системы изучают не только дифференциальные уравнения, но и итерации отображений. Написать итерационный квадрат отображения p — это все равно что взять отображение p и применить его не к z, а к образу точки z под действием отображения p: P2 (z) =P(P(z)). Хорошее упражнение — написать, какой многочлен и какой степени при этом получится. Динамические системы рассматривают отображение p, примененное k раз, и исследуют, что происходит с точкой: pk (z), k=1,2... когда k стремится к бесконечности. Это был такой маленький пример, который показывает, что теория динамических систем занимается не только дифференциальными уравнениями, но и отображениями и их итерациями.
В теории отображений очень популярен так называемый сдвиг Бернулли.
Сдвиг Бернулли можно понимать как математическую формализацию истории бросания монеты. Мы бросаем монету и записываем выпадания орлов и решек.
Теперь представьте себе, что мы кидаем не монету, а, скажем, шестигранную кость. И она выпадает на одну из шести граней. Мы записываем историю этих бросаний. Глядя на получившиеся последовательности, легко придумать отображение (так называемые отображения сдвига на одну позицию), которое я не буду описывать подробно; оно называется сдвигом Бернулли.
Долго стоял вопрос о том, разные это или одинаковые динамические системы: сдвиги Бернулли в последовательности из двух и из шести символов. Андрей Николаевич Колмогоров придумал инвариант, который называется «энтропия» и который позволил доказать, что эти две динамические системы — разные. Другими словами, сдвиг Бернулли для последовательности из двух символов и из шести символов (у Колмогорова было три символа вместо шести) — это разные, неэквивалентные динамические системы.
Юный Яков Синай в пору, когда он был аспирантом Колмогорова, принял активное участие в разработке теории нового инварианта, и этот инвариант вошел в теорию динамических систем и буквально пронизал ее насквозь под названием «энтропия Колмогорова — Синая».
— Это, собственно, и было первым крупным циклом работ Якова Григорьевича Синая?
— Совершенно верно. Инвариант ввел Колмогоров, а разрабатывали они его вместе.
Эргодическая теория
— Следующий важный цикл работ Синая относится к так называемой эргодической теории. Здесь стоит опять сделать шаг назад и рассказать, откуда эргодическая теория появилась.
С точки зрения Лапласа, движение молекул окружающего нас воздуха описывается дифференциальными уравнениями. Вот мы сидим в комнате и дышим воздухом, поведение которого представляет собой решение дифференциального уравнения в пространстве с очень-очень большим количеством координат. Вопрос: почему мы дышим однородным воздухом? Почему давление в правом верхнем углу комнаты и в противоположном, левом нижнем, одно и то же? Ведь молекулы в правом нижнем углу совсем не знают, что делается в левом верхнем. Почему же они ведут себя одинаково?
Австрийский физик Больцман в конце ХIХ века попытался осмыслить этот вопрос и придумал так называемую эргодическую теорию.
Он предположил, что решения очень сложных дифференциальных уравнений ведут себя вероятностным образом. На геометрическом языке это предположение выглядит так. Решение дифференциального уравнения — это описание движения точки в пространстве. Это пространство может иметь очень много координат или, как говорят, очень большую размерность. Оно называется фазовым пространством. Больцман предположил, что если мы подождем достаточно долгое время, то решение сложного дифференциального уравнения успеет побывать во всех областях фазового пространства. Например, вся совокупность молекул в комнате изображается одной точкой в фазовом пространстве колоссальной размерности. Эта точка побывает во всех частях фазового пространства и каждую часть будет навещать с частотой, пропорциональной ее размеру. Можно представить себе следующую иллюстрацию: имеется объем в пространстве (условно говоря, комната), и там очень-очень быстро движется одна точка, которая, конечно, в каждый момент времени занимает какое-то определенное положение. Но по прошествии достаточно долгого времени она успеет побывать в каждом кубическом дециметре комнаты.
А если мы дадим ей еще большее время, то она успеет побывать в каждом кубическом сантиметре. Если еще более долгое — в каждом кубическом миллиметре. И так далее…
Эргодическая теория точно формализует, что значит это утверждение, которое я сформулировал на интуитивном уровне. И превращает его в теорему. Впрочем, Больцман сформулировал только концепции и гипотезы. Он не доказал ни одной теоремы в эргодической теории.
— То есть он только подступался к этому.
— Да. Он был своего рода провидцем.
Формализацию эргодической теории произвели в 30-е годы Биргофф и фон Нейман, которые впервые сформулировали аккуратные теоремы и доказали их при определенных условиях. Оказалось, что они справедливы не для всякой динамической системы, а для динамической системы, сохраняющей так называемый фазовый объем. Можно уподобить движение точек под действием дифференциального уравнения движению молекул под действием потока газа или движению частиц воды под действием гидродинамического потока. Так вот, газ сжимаем, а вода — нет. Динамические системы, сохраняющие объем, похожи на течение воды, а не на течение газа. Именно для таких динамических систем Биргофф и фон Нейман доказали эргодическую теорему.
Эта теорема перебрасывает мост между теорией вероятностей и динамическими системами.
Вот мысленный эксперимент из теории вероятностей. На стол, на котором стоят большие и маленькие тарелки, случайным образом бросают монеты.
Теория вероятностей утверждает, что после большого числа бросаний число монет на каждой тарелке будет пропорционально ее площади. А вот что говорит теория динамических систем: точка, движущаяся под действием эргодического дифференциального уравнения, посещает каждый участок фазового пространства с такой же частотой, с какой туда попадала бы случайно брошенная «монетка».
На динамическую систему для того, чтобы она обладала свойством эргодичности, нужно налагать весьма трудно проверяемые условия. Вовсе не все динамические системы обладают эргодическим поведением, то есть способностью побывать в любом уголке фазового пространства. Вопрос: правда ли, что системы газовой динамики таким свойством обладают?
Этой проблемой занялся молодой Яков Синай. Одновременно теорией динамических систем занималось славное поколение ученых — Аносов и Арнольд в России, Смейл в США. Смейл приезжал в Россию и оказал очень сильное влияние на наших ученых. Он же писал о том, какое сильное влияние они оказали на него. В частности, одна из задач, поставленных Смейлом, состояла в том, чтобы доказать (что бы это ни означало) структурную устойчивость геодезического потока на многообразии отрицательной кривизны (здесь слишком много профессиональных терминов для того, чтобы объяснять это непосвященным). Я упомянул об этой задаче потому, что, обдумывая ее, Дмитрий Викторович Аносов создал теорию так называемых гиперболических динамических систем. Геодезический поток, о котором шла речь, является одним из важных, но далеко не единственным примером гиперболической системы.
— Это чем-то связано с земной геодезией?
— Только тем, что геодезическая линия на поверхности — это кратчайшая линия. А геодезия занимается измерением расстояний на земле и, в частности, проведением кратчайших путей между двумя точками. Поэтому связь прямая, но объяснять ее слишком долго.
Яков Синай был первым, кто применил методы гиперболической теории к гипотезе Больцмана и к задачам газовой динамики. Он очень сильно продвинул доказательство эргодической гипотезы Больцмана (над ней сейчас работают его последователи, и эта задача, решенная не до конца, исследована сейчас очень глубоко). Она называется теперь эргодической гипотезой Больцмана — Синая.
Не все динамические системы похожи на поток воды и сохраняют фазовый объем. Есть много динамических систем, которые похожи на бушевание ветра, несущего облака пыли, или на движение распыленного вещества во Вселенной. Это распыленное вещество может с течением времени образовывать скопления, группироваться и образовывать фигуры гораздо меньшего размера, чем то пространство, в котором начиналось движение. Первоначально равномерно распыленное во Вселенной вещество может образовать весьма плотные скопления, и можно говорить о массе разных частей этих скоплений.
Эта картина иллюстрирует то, что математики называют предельной инвариантной мерой для динамической системы. Одна из самых знаменитых и тоже интенсивно изучаемых мер — это так называемая мера Синая — Рюэлля — Боуэна. Яков Григорьевич был одним из трех создателей этой концепции, и она тоже является центральной для теории динамических систем.
Общая вера современных математиков состоит в том, что большинство динамических систем демонстрируют одновременно детерминистское и вероятностное поведение. Детерминистское поведение управляет выходом всех частиц на то множество, на то скопление материи, на котором сосредоточена мера Синая — Рюэлля — Боуэна. Это скопление называется аттрактором. А теория вероятностей управляет движением уже по этому скоплению материи — по аттрактору.
Проблема турбулентности
Слово «турбулентность» может показаться незнакомым. Однако его слышали почти все, кто летал в самолетах. Помните спокойный голос бортпроводника: «Наш самолет вошел в зону турбулентности. Пристегните ремни». Это значит, что самолет вошел в зону воздушных вихрей, которые клубятся, сталкиваются и мешают полету. Примерно так же выглядит турбулентное течение жидкости.
В последнее время Яков Григорьевич приложил много усилий к занятиям математической гидродинамикой.
Течение жидкости описывается так называемым уравнением Навье-Стокса. Это дифференциальное уравнение с частными производными. Его исследование Институт Клея назвал одной из семи ведущих проблем ХХI века, и она входит в число так называемых millennium prize problems, за решение которых объявлена миллионная премия. Проблема состоит в следующем: начать с уравнений Навье-Стокса, довольно компактных дифференциальных уравнений с частными производными, и с их помощью объяснить совершенно загадочное явление турбулентности, которое тоже в каком-то смысле противоречит детерминистской философии Лапласа. А именно представим себе следующий эксперимент: возьмем жидкость в сосуде и будем ее медленно разгонять. Например, сосуд может быть зазором между двумя цилиндрами, в котором залита жидкость. Один цилиндр неподвижен, а другой начинает медленно раскручиваться, разгоняясь до очень большой скорости. Этот процесс можно описать дифференциальным уравнением, но только в бесконечномерном пространстве. В соответствии с теорией существования и единственности при двух экспериментах, производимых в тождественном режиме, изучается одно и то же решение дифференциального уравнения. И тем самым должна наблюдаться одна и та же картина. Между тем сначала действительно эта гипотеза подтверждается (то есть при двух экспериментах развитие течения примерно одно и то же: есть аккуратные струи, которые легко проследить и описать), но затем появляются мелкие вихри, начинается хаос, и две картины течения при двух практически тождественных экспериментах абсолютно различны между собой.
Как это объяснить? Гипотеза, сформулированная академиком Арнольдом, состояла в том, что уравнение Навье-Стокса — это бесконечномерная гиперболическая система (как видите, все связано в теории динамических систем). Эта гипотеза до сих пор не доказана. Один из ключевых вопросов относится к уравнению, описывающему движение жидкости без вязкости (движение так называемой идеальной жидкости). Это упрощенный вариант уравнения Навье-Стокса, называемый уравнением Эйлера. Вопрос состоит в следующем: верно ли, что решения уравнения Эйлера в определенном смысле уходят на бесконечность за конечное время?
Яков Григорьевич ответил на близкий вопрос. Если продолжить решение уравнения Эйлера в комплексную область, то там у них возникают особенности. Это результат последнего времени, и он тоже имеет не только математическую, но и физическую и философскую интерпретацию. Надо подчеркнуть, что Яков Григорьевич всю жизнь работает в тесном контакте с физиками. Об этом можно говорить еще долго.
Традиция дарения
— Вы говорили о том, что Синай — создатель своей математической школы…
— Как и его учитель, Андрей Николаевич Колмогоров, Яков Григорьевич — создатель совершенно замечательной школы. Многие его ученики сами создали свои школы, стали профессорами в разных университетах. Назову лишь одного из них — филдсовского лауреата Г.А. Маргулиса. Синай — выдающийся педагог. Он сохраняет присущий русской математической школе принцип дарения, идущий от его учителя Колмогорова.
— То есть Яков Григорьевич Синай дарит свои идеи ученикам?
— Да. Учитель щедро дарит свои идеи ученикам.
В ситуации, когда западные ученые обычно публикуют совместные статьи со своими учениками, и это справедливо (постановка задачи и идея решения часто бывает решающим вкладом), русская традиция состоит в том, чтобы эту постановку и начальный импульс ученику дарить. И Синай является очень щедрым дарителем.
— Известно, что вот уже много лет в Москве проходит летний семинар Синая.
— Совершенно верно. Когда весной и летом Синай приезжает в Россию, интенсивно работает его семинар. Хотя в последнее время Яков Григорьевич в основном воспитывает учеников в Принстонском университете, профессором которого он является. Математический факультет Принстона — один из величайших математических факультетов мира, где работает много филдсовских лауреатов. И Синай в этой математической гвардии занимает почетное место.
Материал подготовлен при поддержке департамента образования города Москвы.
P.S. Торжественное вручение премии Абеля состоится 20 мая: церемония награждения проходит в атриуме университета Осло (Aula), на юридическом факультете, где с 1947 по 1989 год выдавалась Нобелевская премия мира. Сумма этой премии составляет порядка миллиона долларов.