Цивилизация
— Встречались ли вам случаи некорректного употребления метафоры фрактала в ненаучном обиходе, СМИ или научно-популярной литературе?
— «Фрактал» — это именно метафора: как у таковой у нее нет четко очерченных границ корректного применения. Можно пытаться ограничивать употребление этого слова теми или иными строгими математическими определениями, но я не вижу большого смысла. Это слово хорошо прижилось как популяризаторский термин. Но, например, в своих научных статьях я это слово ни разу не употребил.
— Как бы то ни было, ваша лекция в культурном центре ЗИЛ посвящена фракталам. Не могли бы вы дать метафорическое, но математически корректное определение фрактала?
— Стандартное определение таково.
Фрактал — это фигура, обладающая самоподобием. Чтобы это определение сделать точным, нужно уточнить слово «самоподобие». Впрочем при любом понимании придется смириться с тем, что прямая – это тоже фрактал: она, конечно же, выглядит одинаково в любом масштабе.
Понятие «выглядеть одинаково» в этом случае наиболее сильное – маленький отрезок прямой, если увеличить масштаб, можно в точности наложить (выражаясь научно, совместить евклидовым движением) с большим отрезком. Такое же точное самоподобие наблюдается и у гораздо более сложных множеств, обладающих нецелой размерностью — например, у Канторовского множества и у треугольника Серпинского. Но, конечно, мы не ограничиваемся фракталами с точным самоподобием. Мы допускаем приблизительное самоподобие, когда малая часть, будучи увеличенной, выглядит пусть и не в точности так же, как целое, но почти также. Математика — очень въедливая наука, и слово «почти» тоже нуждается в строгом определении. Выглядеть «почти так же» значит иметь малое искажение. Что же такое искажение? Здесь тропинки расходятся. В своей лекции я пойду только по одной из этих тропинок, а именно я буду рассказывать про такие фракталы, у которых самоподобие осуществляется преобразованиями, сохраняющими углы.
— Фрактальная графика, с одной стороны, весьма жизнеподобна, с другой — изображениям природных объектов, сгенерированным фрактальными алгоритмами, явно не хватает живости. Означает ли это, что фракталы «не схватывают» реальные состояния нелинейных динамических систем? Есть ли тут дефект?
— Боюсь, что имею слишком отдаленное представление о фрактальной графике (как о средстве изображения природных объектов), чтобы содержательно ответить на этот вопрос. Дело в том, что я занимаюсь самими математическими фракталами, а не вопросом о том, какие объекты реальной жизни они аппроксимируют. Мы как математики рассматриваем простейшие объекты, которые можно изучить. Просто потому, что, не изучив простейшие объекты, нельзя надеяться на успешное изучение сложных объектов. Например, я изучаю простейшие динамические системы с минимальным числом степеней свободы и простыми до неприличия законами эволюции. В реальной жизни встречаются, как правило, сложные динамические системы.
Говоря откровенно, про сложные системы мы не понимаем ничего, а про простейшие системы только недавно начали что-то понимать.
Есть два вида деятельности. Во-первых, пытаться моделировать сложные системы при помощи простых — очевидно, что при этом возникнут большие погрешности. Говорят, что, несмотря на это, в некоторых областях такой подход эффективен, но я этим не занимаюсь, и мои мотивировки никак с этим не связаны. Во-вторых — пытаться понять простые системы вот для чего: полное понимание простой системы дает правильную интуицию для работы с более сложными системами. Это опосредованное приложение, имеющее малую коммерческую ценность (как продать интуицию?), но, на мой взгляд, наиболее важное в долгосрочной перспективе.
— В этом смысле, какие математические объекты, решения или сюжеты вы бы (чисто интуитивно) назвали наиболее многообещающими в долгосрочной перспективе?
— Делать такие предсказания пытались многие великие ученые прошлого. К сожалению, сейчас эти предсказания выглядят очень смешно. Древние греки, начавшие изучать выпуклые многогранники, понятия не имели о том, что через пару тысяч лет эти объекты окажутся полезными в экономике. И откуда им было знать? Еще только в прошлом веке Г. Г. Харди говорил о теории относительности и теории чисел как о предметах, не могущих иметь практического применения. «Чистые» математики всегда в первую очередь исследовали не те объекты, которые полезны здесь и сейчас, а те объекты, которые им казались наиболее фундаментальными. При этом они руководствовались своим эстетическим чувством. И очень часто оно оказывалось более надежным фундаментом, чем что-либо еще. Фундаментальность математических объектов часто выражается в сочетании той простоты, с которой объекты определяются, и той сложности, которая обнаруживается в их поведении. Многогранники, алгебраические и полуалгебраические множества, группы преобразований – объекты, безусловно, фундаментальные, но это знали и пару тысяч лет назад. Динамические системы — намного более молодая область, но она тоже рассматривает весьма фундаментальные объекты, все признаки налицо. Комбинаторика — старая наука, но она получила в последнее время новую жизнь, связанную с применением методов, ей традиционно не свойственных. Это те перспективные направления, которые мне известны.
— Есть точка зрения, что финансовый кризис 2008 года был отчасти (разные авторы по-разному оценивают этот вклад) спровоцирован роботизированными биржевыми системами. Так ли это?
— Могу только передать, что слышал (сам я этим не занимаюсь): производные финансовые инструменты, изучение динамики которых требует серьезного математического аппарата, сыграли важную роль в этом кризисе. Есть такая точка зрения: поскольку математики придумали производные инструменты, они же виновны в кризисе. В этом я не вижу логики. Вряд ли изобретателя колеса стоит винить в дорожных катастрофах.
— Могли бы вы сформулировать стратегию матфака ВШЭ: это подготовка преимущественно прикладников, чистых математиков, или математическое образование смешанного типа?
— Я не согласен с тем, что математическое образование имеет разные типы.
Знать математику должны и чистые математики, и прикладники, причем «знать математику» в обоих случаях означает одно и то же!
Мы стремимся обеспечить фундаментальное математическое образование, по возможности широкое и универсальное. Это означает, что мы не готовим прикладников в какой-то конкретной области: это бы сильно сузило перспективы наших выпускников. И, конечно, мы не предполагаем, что все или даже большинство выпускников нашего бакалавриата будут заниматься чистой математикой. Мы просто хотим, чтобы их математическая подготовка давала им наиболее широкие преимущества.
— Необходима ли серьезная математическая подготовка, чтобы работать и зарабатывать на финансовых рынках? Дает ли знание высшей математики реальное преимущество перед конкурентами?
— Нет. Преимущество дает не знание, а «натренированные мозги». Человеку в хорошей спортивной форме легче овладеть даже тем видом спорта, который никак не связан с его предыдущими спортивными занятиями. Это не значит, что математические знания и методы там не используются. Но просто это не главное, что нужно. Главное — уметь правильно думать, уметь решать задачи. Именно поэтому многие компании хотят заполучить именно математиков, а не просто людей, изучавших математику на достаточно серьезном уровне — скажем, на экономических факультетах.
— Будет ли факультет, учитывая специфику ВШЭ, инициировать учебные и исследовательские проекты в области финансовой и экономической аналитики? Планируется ли открытие других лабораторий?
— Мы не претендуем на финансово-экономическую нишу. В Вышке есть кафедра высшей математики на факультете экономики — по размеру она сопоставима с нашим факультетом. Наш факультет рассматривает скорее естественнонаучные приложения. Например, у нас открылась магистерская программа по математической физике (магистерская программа по математике, конечно, тоже есть: она международная и осуществляется на английском языке). Открытие других лабораторий, конечно же, планируется, но оно зависит от внешнего финансирования. Лаборатория алгебраической геометрии и ее приложений была создана на средства мегагранта правительства РФ, который в 2009 году получил Ф. А. Богомолов. Мегагранты даются целенаправленно на создание научных лабораторий. Первоначальный грант был дан на три года. В этом году финансирование было продолжено на условиях софинансирования со стороны Вышки.
— Чем организация учебного процесса на математическом факультете ВШЭ отличается от матфаков других российских ВУЗов?
— Тем, какое внимание уделяется индивидуальному общению преподавателей со студентами — один на один. В том числе в ходе обсуждения учебных задач. Разумеется, я не имею в виду только общение с научным руководителем, научную работу. Я имею в виду именно обучение. Разумеется, такой стиль обучения — это возможность, а не принуждение, и, к сожалению, не все студенты этой возможностью пользуются.
— На сайте факультета основной целью лаборатории объявлено «развитие русской школы алгебраической геометрии». Почему именно эта область математики выбрана в качестве профилирующей для факультета?
— Факультет и лаборатория — формально независимые подразделения, и говорить о профилирующей области для факультета не вполне корректно. На факультете также очень сильны группы в таких областях, как топология, геометрия, теория представлений, математическая физика, динамические системы, логика. Это коррелирует с традиционно сильными направлениями московской математической школы. Разумеется, влияние этой школы ощутимо, хотя у нас есть и международные сотрудники, и многие сотрудники факультета учились или работали за границей.
— Вы защитились в Канаде и до недавнего времени работали в университетах США и Германии. Что мотивировало вас вернуться работать в Россию?
— Прежде всего, я никогда не планировал уезжать надолго. Как-то незаметно получилось, между учебой и научными стажировками, что я пробыл за границей почти 10 лет. С другой стороны, непосредственным поводом, чтобы вернуться, послужил открытый международный конкурс вакансий, объявленный математическим факультетом Вышки. Я о нем узнал, будучи за границей, и из-за границы приезжал на интервью. Все это широко практикуется в США и Европе, но ни один другой математический факультет России не объявлял тогда открытых конкурсов. Между прочим, и сейчас наше объявление о постдокторских позициях — единственное на mathjobs.org объявление из России. Мне предложили весьма привлекательные условия работы, и я согласился. Не жалею. Работать интересно: у нас очень большие амбиции, и пока что они одна за другой реализуются.